В дифференциальном исчислении производная суммы функций является одним из фундаментальных правил, которое широко применяется в математическом анализе. Рассмотрим это правило подробнее.
Содержание
Основное правило дифференцирования суммы
Производная суммы двух или более дифференцируемых функций равна сумме их производных. Математически это выражается следующей формулой:
(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
Доказательство правила
Используя определение производной через предел:
limh→0 [(f(x+h) + g(x+h)) - (f(x) + g(x))]/h = limh→0 [f(x+h) - f(x)]/h + limh→0 [g(x+h) - g(x)]/h = f'(x) + g'(x)
Примеры применения
| Функция | Производная |
| x2 + x3 | 2x + 3x2 |
| sin(x) + cos(x) | cos(x) - sin(x) |
| ex + ln(x) | ex + 1/x |
Обобщение на случай нескольких слагаемых
Правило распространяется на любое конечное число слагаемых:
(f1(x) + f2(x) + ... + fn(x))' = f'1(x) + f'2(x) + ... + f'n(x)
Важные замечания
- Правило справедливо только для дифференцируемых функций
- Аналогичное правило действует для разности функций
- Константы можно выносить за знак производной
- Правило не распространяется на бесконечные суммы без дополнительных условий
Применение в физике
Это правило часто используется при:
- Вычислении скорости как производной от суммы перемещений
- Определении результирующей силы как суммы производных импульсов
- Анализе сложных электрических цепей
Правило дифференцирования суммы является базовым инструментом математического анализа и находит широкое применение в различных областях науки и техники.
