В алгебре существуют важные соотношения между коэффициентами уравнения и его корнями. Когда известна сумма корней уравнения, это позволяет решать различные математические задачи.
Содержание
Теорема Виета для квадратного уравнения
Для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0:
- Сумма корней x₁ + x₂ = -b/a
- Произведение корней x₁ × x₂ = c/a
Применение теоремы Виета
| Задача | Решение |
| Найти корни уравнения | Зная сумму и произведение, определить корни |
| Составить уравнение | По известным корням восстановить уравнение |
| Упростить выражения | Замена суммы и произведения корней |
Обобщение для уравнений высших степеней
Кубическое уравнение
Для уравнения ax³ + bx² + cx + d = 0:
- x₁ + x₂ + x₃ = -b/a
- x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a
- x₁x₂x₃ = -d/a
Уравнение n-ной степени
Сумма корней равна -an-1/an, где:
- an - коэффициент при старшей степени
- an-1 - коэффициент при следующей степени
Примеры решения задач
Пример 1: Квадратное уравнение
Дано: x² - 5x + 6 = 0
Решение:
- Сумма корней: 5
- Произведение корней: 6
- Корни: 2 и 3
Пример 2: Составление уравнения
Дано: сумма корней = 4, произведение = -5
Уравнение: x² - 4x - 5 = 0
Свойства симметрических выражений
Через сумму и произведение корней выражаются:
| x₁² + x₂² | = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ |
| 1/x₁ + 1/x₂ | = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) |
| x₁³ + x₂³ | = (x₁ + x₂)³ - 3x₁x₂(x₁ + x₂) |
Практическое применение
- Решение задач на оптимизацию
- Анализ физических процессов
- Построение графиков функций
- Разложение многочленов на множители
Ограничения теоремы
Теорема Виета применима только когда:
- Уравнение имеет действительные корни
- Старший коэффициент не равен нулю
- Учитываются все корни (с учетом кратности)
